উৎপাদকে বিশ্লেষণ

অষ্টম শ্রেণি (মাধ্যমিক) - গণিত - বীজগণিতীয় সূত্রাবলি ও প্রয়োগ | NCTB BOOK

উৎপাদক : যদি কোনো বীজগণিতীয় রাশি দুই বা ততোধিক রাশির গুণফল হয়, তাহলে শেষোক্ত রাশিগুলোর প্রত্যেকটিকে প্রথম রাশির উৎপাদক বা গুণনীয়ক (Factor) বলা হয়। যেমন, a2-b2=(a+b)(ab), এখানে (a+b) ও (ab) রাশি দুইটি (a2b2) এর উৎপাদক।

উৎপাদকে বিশ্লেষণ : যখন কোনো বীজগণিতীয় রাশিকে সম্ভাব্য দুই বা ততোধিক রাশির গুণফলরূপে প্রকাশ করা হয়, তখন একে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা বলে এবং ঐ রাশিগুলোর প্রত্যেকটিকে প্রথমোক্ত রাশির উৎপাদক বলা হয়। যেমন, x2+2x=x(x+2) [ এখানে x ও x+2 উৎপাদক] উৎপাদক নির্ণয়ের নিয়মগুলো নিচে দেওয়া হলো :

(ক) সুবিধামতো সাজিয়ে :

px-qy+qx-py কে সাজানো হলো, px+qx-py-qy রূপে।

এখন, px+qxpy-gy=x(p+q)-y(p+q)=(p+q)(x-y).

আবার, px-qy+qx-py কে সাজানো হলো, px-py+qx-qy

এখন, pxpy+qx-y=p(x-y)+q(x-y)=(x-y)(p+q).

(খ) একটি রাশিকে পূর্ণ বর্গ আকারে প্রকাশ করে :

x2+4xy+4y2=(x)2+2×x×2y+(2y)2

                            =(x+2y)2=(x+2y)(x+2y)

(গ) একটি রাশিকে দুইটি রাশির বর্গের অন্তররূপে প্রকাশ করে এবং a2b2 সূত্র প্রয়োগ করে :

a2+2ab-2b-1

=a+2ab+b2b2-2b-1 [এখানে b2 একবার যোগ এবং একবার বিয়োগ করা হয়েছে। এতে রাশির মানের কোনো পরিবর্তন হয় না]

=(a2+2ab+b2)-(b2+2b+1)

=(a+b)2(b+1)2

=(a+b+b+1)(a+b-b-1)

=(a+2b+1)(a-1)

বিকল্প নিয়ম :

                a2+2ab-2b-1

                =(a2-1)+(2ab-2b)

                =(a+1)(a-1)+2b(a-1)

                = (a-1)(a+1+2b)

                =(a-1)(a+2b+1)

(ঘ)x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b) সূত্রটি ব্যবহার করে : 

            x2+7x+10=x2+(2+5)x+2×5

                                   =(x+2)(x+5)

(ঙ) একটি রাশিকে ঘন আকারে প্রকাশ করে :

                  8x3+36x2+54x+27

                  =(2x)3+3×(2x)2×3+3×2x×(3)2+(3)3

                  =(2x+3)3

                  =(2x+3)(2x+3)(2x+3)

(চ) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) এবং a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)

সূত্র দুইটি ব্যবহার করে :

8x3+125=(2x)3+(5)3=(2x+5) (2x)2-(2x)×5+(5)2

                                              =(2x+5)(4x2-10x+25)

27x3-8=(3x)3-(2)3  ={(3x-2) {(3x)2+(3x)×2+(2)2}

                                              =(3x-2)(9x2+6x+4)

 

উদাহরণ ১। 27x4+8xy3 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর।

সমাধান : 27x4+8xy3=x(27x3+8y3)

                                       =x{(3x)3+(2y)3}

                                       =x(3x+2y) {(3x)2-(3x)×(2y)+(2y)2}

                                       =x(3x+2y)(9x2-6xy+4y2)

 

উদাহরণ ২। 24x3-81y3 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর।

সমাধান : 24x3-81y3=3(8x3-27y3)

                                        =3{(2x)3-(3y)3}

                                        =3(2x-3y) {(2x)2+(2x)×(3y)+(3y)2}

                                        =3(2x-3y)(4x2+6xy+9y2)

কাজ : উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর :

১। 4x2-y2     ২। 6ab2-24a     ৩। x2+2px+p2-4     ৪। x3+27y3      ৫। 27a3-8

Content added || updated By

আরও দেখুন...

Promotion